高三数学 · 一轮复习专题
托勒密不等式
—— 从圆内接四边形到任意凸四边形
解题模型 · 边角转化
·
授课教师 张凤郎
知识回顾：托勒密定理
四边形 \(ABCD\) 内接于圆 \(\;\Longrightarrow\;\) \(AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
圆内接四边形：对角线之积 \(=\) 两组对边之积的和
新知：托勒密不等式模型
任意凸四边形 \(ABCD\) \(\;\Longrightarrow\;\) \(AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
当且仅当 \(A,B,C,D\) 四点共圆时取等号
证明（一）：构造相似三角形
在平面内取点 \(E\)，使 \(\angle BAE=\angle CAD\)，\(\angle ABE=\angle ACD\)
\(\triangle ABE\sim\triangle ACD\;\Longrightarrow\;AC\cdot BE=AB\cdot CD\) ①
证明（二）：第二组相似
连接 \(DE\)，\(\angle BAC=\angle BAE+\angle EAC=\angle CAD+\angle EAC=\angle EAD\)
\(\triangle ABC\sim\triangle AED\;\Longrightarrow\;AC\cdot DE=AD\cdot BC\) ②
证明（三）：两式相加，得不等式
① \(+\) ②：\(AC\cdot BE+AC\cdot DE=AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
\(BE+DE\ge BD\;\Longrightarrow\;AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
取等条件：\(B,E,D\) 三点共线，即 \(A,B,C,D\) 四点共圆
模型总结：一个等号，一个不等号
四边形 \(ABCD\)结论
内接于圆
\(AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
任意凸四边形
\(AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
取等条件
四点共圆
口诀
对角之积 ≤ 对边之积的和
识别信号：题目里出现「两组对边长度已知、要求某条对角线（或含对角线的线段）的最值」时，
优先考虑把四点连成四边形套用托勒密不等式。
例 1 · 法一：旋转构造全等
以 \(AO\) 为边作等腰直角 \(\triangle AOF\)，\(\angle AOF=90^\circ\)
\(AF\le AC+CF=6\)，且 \(AF=\sqrt{2}\,AO\;\Longrightarrow\;AO\le 3\sqrt{2}\)
例 1 · 法二：托勒密不等式秒杀
在四边形 \(ABOC\) 中：\(OA\cdot BC\le AB\cdot OC+AC\cdot OB\)
设 \(OC=OB=x\)，则 \(BC=\sqrt{2}x\;\Longrightarrow\;AO\le 3\sqrt{2}\)
课堂小结
模型
任意凸四边形 \(ABCD\)：\(AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
取等
当且仅当 \(A,B,C,D\) 四点共圆（此时化为托勒密定理）
用法
四点中已知两组对边、求对角线（或与对角线相关的线段）的最值
方法线：证明用「构造相似 \(+\) 两点之间线段最短」；解题用「把目标线段放进一个四边形，
让未知量成为对角线」——两者是同一件事的两面。
课后小练
1
完成教案第 6 页第 1–5 题
用本节课的模型独立完成：先把四点连成四边形，再让要求的线段成为对角线。
2
思考：托勒密不等式还有没有其他证明方法？
提示：试试面积法，或者把一般的四边形"补"成圆内接四边形来过渡。
四点共圆，等式成立
圆内一挪，等号变不等号；
不等式，正是定理"松开"的那一步。
不等式，正是定理"松开"的那一步。
谢谢聆听 · 敬请指正
授课教师 张凤郎
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